奈奎斯特定理 香农定理 数字化浪潮下，采样定理在传感与系统互连中的应用解析？

采样定理由于数字化和计算机技术的广泛应用，使传感与系统互连时必须考虑接口界面问题。

大多数传感器是用来获取连续的模拟信号的，这种信号是数字系统或计算机系统无法接收的输入。

因此，传感器系统设计中，除了硬件接口外，还要考虑软件接口问题。

这就是所谓采样定理。

传感器检测/监视系统大多是利用基于离散数字信号的连续采样硬件系统。

它们利用采得的离散数字信号再现传感器获得的连续模拟信号。

1．香农采样定理该采样定理表述为，如果信号中所包括的频率不高于，则可由一系列相隔1/（2）时间的抽样值所确定。

该定理的物理含义是，遵循香农采样定理对连续模拟信号进行周期性的离散采样，所采得的离散信号数列可以保持频率特性不变，即不发生混频（叠）现象。

图1表示了模拟信号A 的两类离散采样结果。

其中图a表示遵从香农采样定理对模拟信号A进行采样后，按采样系列值恢复得到的信号B与信号A相比不发生“混叠”现象，即两者的信号频率相等。

图b 表示不遵从香农采样定理采得的信号B′与信号A频率不一致，发生“混叠”现象。

图1 模拟信号A采样与“混叠”现象a）遵循采样定理，不发生“混叠”现象；b）不遵循采样定理，产生“混叠”现象为了便于应用，可以把香农采样定理表述为，离散采样的频率应大于或等于被采样信号包含的最高频率的两倍。

其数学表达形式可以为≥2（1）例如：对频率～1MHz的声发射信号进行采样时，其最高频率为=1MHz，故按采样定理，其采样频率应该是≥2=2×1MHz=2MHz。

由式（1）可知，采样的间隔（周期）T S应为1/T S≥2（2）或T S≤1/（2）（3）上例的采样周期是T S≤1/（2）=1/2×1MHz=0.5μs2．工程采样的考虑由于工程要求的不同，应用采样定理时有不同的考虑。

1）把香农采样定理作为近似准则使用，严格地讲，采样定理只适于窄带信号的采样。

所谓窄带信号指的是信号的频率分散在信号中心频率Ω。

附近一个较窄的频率范围内。

信号的频带宽W定义为W=（4）式中—被采样信号的最低频率。

例如，上例的声发射信号频带宽为W=1MHz-=，而其中心频率为W0=，故严格地讲，上例计算的采样频率=2MHz是不符合采样定理要求的。

但因为现有的声发射监视仪电路和计算速度与存储量的限制（否则会导致成本过高）无法提高采样频率，故按香农采样定理设计采样频率。

所幸的是，声发射波的传播过程必然导致混频，故从“映射”角度来进行信号识别，被实践证明是可行的。

2）在采样电路设计中，常常把香农采样定理修正成≥10（5）其目的不仅要保证不发生“混叠”，而且希望尽可能采到幅值的最大值或近似值。

3）当按香农采样定理计算得出的采样频率过高时的工程处理方法，对于窄带信号也可以把香农采样定理修正为≤≤（6）式中N—自然数。

若可以表示为=kW （7）则式（6）可改写为≤≤（8）式中k —自然数。

根据式（8）可以列出表1，供窄带信号确定低于香农采样定理计算值的采样用实际频率。

注：1.W=，即上下限信号角频率之差。

2. 的竖列应表示为W 的倍数，且k 取自然数。

23.2.3 量化一个连续的模拟信号X a （t ）被采样为离散信号系列（信号列）X （nT ），在进行模数转换（A/D 转换）时，不能够达到精确的结果，只能用有限的二进制数来近似它。

用幅值不连续的数来逼近信号实际值的过程称为量化。

常采用截尾法或舍入法进行量化处理。

量化处理大多是用A/D 转换器来完成的。

因此，按照上述定义和量化方法进行采样必然会产生误差。

统计分析证明，一个比较复杂的信号在其变化剧烈时，可以认为量化误差服从于白噪声。

量化信噪比指的是信号功率与量化噪声功率之比。

它又称为量化的信噪比。

在采用常用对数表达量化信噪比时，把它记作SNR 或S/N 。

SNR （dB ）的数学表达式为SNR=10（9）式中：σX—信号的功率；σe—信号量化噪声功率，它是由于量化误差产生的；b—字长，b表达为（10）式（10）中SNR用dB表达。

应将按式（10）算出的b值圆整为整数。

例如：要求量化信噪比SNR=80dB，其所需的字长b=80-1.24/6=13.127，圆整后取b=14。

概念采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. （1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry 都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

采样定理时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。

图为模拟信号和采样样本的示意图。

时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。

频域采样定理对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这些采样点的频率间隔。

编辑本段采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字，称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x中，用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中，我们可以得出以下结论：如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率，通常表示为fN。

相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。

以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。

在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。

在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。

这通常是用一个低通滤波器来实现的。

编辑本段混叠如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。

这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和幅度改变了。

以下两种措施可避免混叠的发生：1. 提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。

从理论上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的。

因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。

不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可忽略不计。

编辑本段减采样当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠。

为了满足采样定理的要求，信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。

这个用于避免混叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器。

编辑本段香农采样定理为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

Fs≥2Fma x采样率的提高要求转换电路必须具有更快的转换速度。

转换电路即模/数转换电路，-to- ，目前工业中应用的ADC主要有一下三种：并联比较型ADC的最大优点是转换速度快。

适用于要求高速、低分辨率的场合。

逐次逼近型ADC的电路规模比并联比较型ADC小得多，是目前集成ADC 产品中用的最多的一种电路。

双积分型ADC最突出的优点是工作性能比较稳定，抗干扰能力比较强。

在对转换速度要求不高而对转换精度要求较高的场合（例如数字式电压表）应用得十分广泛。

转换速度比较：并联比较型ADC 数十纳秒逐次逼近型ADC 数十微秒双积分型ADC 数十毫秒编辑本段香农采样定理怎样确保重构原信号任何信号都可以看做是不同频率的正弦（余弦）信号的叠加，因此如果知道所有组成这一信号的正（余弦）信号的幅值、频率和相角，就可以重构原信号。

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